2023-2024学年天津市西青区九年级上学期数学月考试卷及答案

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．

【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意；

B．中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；

C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意；

D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

2. 方程的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根

【答案】C

【解析】

【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

【详解】∵a=1，b=-1，c=3，

∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，

所以方程没有实数根．

故选C．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

3. 抛物线的顶点坐标是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论．

【详解】解：抛物线的顶点坐标是．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的顶点式的特征是解题的关键．

4. 一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）

A. 3x2﹣4x+2＝0 B. 3x2﹣4x﹣2＝0 C. 3x2+4x+2＝0 D. 3x2+4x﹣2＝0

【答案】B

【解析】

【分析】将方程整理为一般形式即可．

【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．

故选：B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．

5. 二次函数的图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一判断图像即可．

【详解】解：的图像是一条过原点，开口向上的抛物线，

故选A．

【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与二次函数的系数的关系是解题的关键．

6. 抛物线 的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的解析式为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】把顶点坐标代入解析式中求出c的值即可.

【详解】∵抛物线 的顶点坐标为(0，1)，

∴c=1，

∴抛物线的解析式为：.

故选A.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．

7. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．

【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：

x（x﹣1）＝36，

故选A．

【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.

8. 抛物线不经过的象限是( )

A. 第一、二象限 B. 第二、四象限

C. 第三、四象限 D. 第二、三象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据，可得抛物线的图象在x轴下方，问题得解．

【详解】解：∵，

∴抛物线的图象在x轴下方，

∴抛物线不经过的象限是第一、二象限，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据，得出抛物线的图象在x轴下方，是解答本题的关键．

9. 下列一元二次方程没有实数根的是（　　）

A. x2+x+1＝0 B. x2+x﹣1＝0

C. x2﹣2x﹣1＝0 D. x2﹣2x+1＝0

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可，一元二次方程的根的判别式，>0时，方程有两个不相等的实数根；=0时，方程有两个相等的实数根；<0时，方程没有实数根．

【详解】A. x2+x+1＝0，，则原方程没有实数根，符合题意;

B. x2+x﹣1＝0，，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意;

C. x2﹣2x﹣1＝0，，则原方程没有实数根，不符合题意;

D. x2﹣2x+1＝0，，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意;

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．

10. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）

A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600

C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600

【答案】D

【解析】

【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，

根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

故选：D．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．

11. 关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（　　）

A. 图象的对称轴是y轴

B. 图象的顶点是原点

C. 当x＞0时，y随x的增大而增大

D y有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的性质得出函数y＝36x2的对称轴及其增减性即可得出结论．

【详解】解：∵函数y＝36x2的顶点在原点，

∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；

∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点，

∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．

故选D．

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2（a≠0）的顶点在原点，对称轴是y轴是解题的关键．

12. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.

【详解】，

，

，

所以，

故选D.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

13. 设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）

A. 1 B. C. 0 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算即可．

【详解】解：

根据根与系数的关系得，，

，

故选：A．

【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若，是一元二次方程的两根，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

14. 方程x2＝4的解是_____．

【答案】

【解析】

【分析】直接运用开平方法解答即可．

【详解】解：∵x2＝4

∴x＝=．

故答案为x=．

【点睛】本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．

15. 写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．

【答案】

【解析】

【分析】根据开口方向与抛物线的方向相反，形状相同可得，再利用顶点坐标即可写出解析式．

【详解】∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）

∴设抛物线解析式为：，

代入顶点坐标（0，-3）得：

∴解析式为

故答案为．

【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题关键．

16. 某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 __．

【答案】

【解析】

【分析】设年平均增长率为，根据增长问题列出方程，解方程求出增长率．

【详解】设该县这两年粮食总产量的年平均增长率为，

根据题意得：，

解得或（舍去），

答：该县这两年粮食总产量的年平均增长率为．

故答案为：．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列方程解增长率问题是解题的关键．

17. 若二次函数的的图像经过点，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用抛物线过点，则点的坐标满足解析式，把点代入即可．

【详解】二次函数y=ax2的图像经过点(1,−2)，

-2=a，

a=-2．

故答案为：-2．

【点睛】本题考查二次项系数问题，关键掌握图像经过点，点的坐标满足解析式使问题得以解决．

18. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．

【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为

故答案为：（或）

【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．

19. 已知实数a、b满足，则代数式是否存在最小值______，最小值是______．

【答案】 ①. 存在 ②. 8

【解析】

【分析】根据得，代入，结合配方法，即可设二次函数，根据二次函数的图象与性质即可作答．

【详解】解：，

，

将，代入，

得，

设二次函数，

可知当时，函数值y随着a的增大而变大，

，

，

当时，函数值y取得最小值8，

即代数式存在最小值，最小值为8，

故答案为：存在，8．

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．

三、解答题（本大题共7小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 解下列方程：

（1）；

（2）

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；

（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．

【小问1详解】

解：，

即；

解得：，

【小问2详解】

解：，

∴，

即，

解得：．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

21. 解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），

（2），

【解析】

【分析】（1）采用因式分解法求解；

（2）采用因式分解法求解．

【小问1详解】

，

即，或者，

∴，；

【小问2详解】

，

即，或者，

∴，．

【点睛】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解，是解答本题的关键．

22. 已知关于的方程．

（1）若方程有两个实数根．求的取值范围；

（2）若方程的一个根为，求方程的另一个根．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义，令，即可求解；

（2）设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【小问1详解】

解：依题意，

解得：

【小问2详解】

解：设方程的另一个根为，则

解得：．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

23. 新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒．

（1）每天平均一个人传染了几人?

（2）如果按照这个传染速度，再经过1天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？

【答案】（1）2人 （2）27

【解析】

【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据“经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒”列一元二次方程，求出x的值，即可求解；

（2）根据（1）的结果，直接计算即可．

【小问1详解】

解：设每天平均一个人传染了x人，

由题意，得，

整理得，

解得，（舍去），

即每天平均一个人传染了2人；

小问2详解】

∵每天平均一个人传染了2人，现有9人已被感染，

∴第三天总患病人数为（人），

答：再经过1天的传染后，这个地区一共将会有27人患新冠病毒．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．

24. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点．

（1）求二次函数的解析式．

（2）当x为何值时，函数值y随x的增大而增大?

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）根据二次函数的图象与性质即可作答．

【小问1详解】

解：根据题意有：，且，

解得：，

即二次函数的解析式为：；

【小问2详解】

在二次函数中，，对称轴为：，

∴抛物线开口朝下，

∴当时，函数值y随x的增大而增大．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．

25. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意，列出方程解得由题可知解得，进而求出最后x的值．

【详解】解：由题意，得

解得

又

解得

故答案为：12．

【点睛】本题考查一元二次方程与不等式的综合应用，熟练地解一元二次方程和不等式式解决问题的关键．

26. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．

【答案】（1）详见解析；（2）当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．

【解析】

【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可证得结论；（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB＝x1＝8，代入得方程82﹣8（2m+1）+m（m+1）＝0，解方程求出m的值即可．

【详解】解：（1）∵△＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝1＞0，

∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；

设AB＝x1＝8，则有：

82﹣8（2m+1）+m（m+1）＝0，即：m2﹣15m+56＝0，

解得：m1＝7，m2＝8．

则当△ABC为等腰三角形时，m值为7或8．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．