2022-2023学年重庆市高三上学期12月月考数学试题及答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 设，则（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案.

【详解】依题意，

即，

所以，即.

故选：C

2. 已知函数，则（ ）

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数解析式求得正确答案.

【详解】由得，

依题意，，

令得.

故选：D

3. 某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：

命中球数	46	47	48	49	50
频数	2	4	4	6	4

则这组数据的中位数和众数分别为（ ）

A. 48，4 B. 48.5，4 C. 48，49 D. 48.5，49

【答案】D

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义即可求解.

【详解】数据总个数为20个，

因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即，

众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次），

故选：D.

4. “”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】运用诱导公式将条件化简之后，平方法可判断,注意开根号有2个解.

【详解】，

对上式左右平方得：

反之，当

故选：A

5. 明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】等比数列第一和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二和第三项可得答案.

【详解】

故选：C

6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.

【详解】设分别是的中点，连接，则，

由于是等边三角形，所以，

根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为，

平面，所以平面，

由于平面，所以.

根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面，

平面，所以，

由此以为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，

设，

则，

所以，

设异面直线与所成角为，

则.

故选：A

7. 在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】过点作的平行线，根据线线平行可得三角形相似，进而得到的长度之比.

【详解】

如图，过点作的平行线交于

在中，为中位线，

又

在中，

所以

故选：A

8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求得在区间上的解析式，结合的奇偶性画出的图象，向左平移个单位长度得到的图象，结合图象求得的最大值.

【详解】当时，，

当时，，.

当时，，

，

此时，令，解得.

函数是定义在上的奇函数，图象关于原点对称；

设，则，

所以是偶函数，图象关于轴对称，

由此画出的图象如下图所示：

由的图象向左平移个单位得到的图象，如下图所示，

其中，

由于对任意的，都有，所以的最大值是.

故选：A

【点睛】本题利用数形结合的思想方法求解含有绝对值的不等式，关键点有：由函数的函数关系式求得的解析式、由的奇偶性以及的奇偶性画出图象、根据图象变换的知识画出的图象，结合图象求得所需要的的最大值.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.

【详解】

当时 , 显然满足条件;

当时, , 集合,

故, 或, 解,

故实数的取值的集合是 .

故选：ACD.

10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（ ）

A. 该阳马的体积为 B. 该阳马的表面积为

C. 该阳马外接球的半径为 D. 该阳马内切球的半径为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据相等的两条棱，求出四棱锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现其外接球球心为中点，内切球的大圆半径其实是的内切圆半径.

【详解】

如图，不妨底面，两两互相垂直，

平面平面，又

由对称性：，

所以A对；

B对；

都是以为斜边的直角三角形，所以都在以为直径的球上，C错；

分析易知：内切球的大圆半径其实是的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：

D对；

故选：ABD

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

11. 已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】构造函数，结合导数，利用已知条件求得的单调性，从而确定正确答案.

【详解】构造函数，，

所以在上递增，

所以，

由，得，D选项错误.

由，得，C选项正确.

由，得，B选项正确.

由，得，A选项正确.

故选：ABC

12. 已知函数在上恰有3个零点，则（ ）

A.

B. 在上单调递减

C. 函数在上最多有3个零点

D. 在上恰有2个极值点

【答案】BC

【解析】

【分析】首先利用辅助角公式得，根据范围得到的范围，结合图像列出不等式，则得到的范围，利用代入检验法即可判断B选项，对C选项证明达不到四个零点，再列举三个零点的情况即可，对D选项，找到一个值满足3个极值点即可.

【详解】，

，，，

函数在上恰有3个零点，

故，解得，故A错误，

当，，

，，，

而正弦函数在上单调递减，

故函数在上单调递减正确，故B正确，

令，即，解得

，，，

区间长度为，若在某闭区间上有四个解，

则区间长度至少为，比如，则不可能存在四个解，

当时，即，，

则或或，解得或或，

故最多有3个零点，故C正确.

当时，此时，令，,

解得，，则 ，

解得，，，

当时，，当时，，当时，，

此时在上有3个极值点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】关键点睛：首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数，然后整体法结合图像得到关于的不等式，即可求出其范围，单调性问题可以通过代入检验，零点个数和极值点个数问题，通过寻找特例去证明或反驳，这也是选择题常用的方法.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13. 写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．

①圆心在直线上，②与轴相切．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据给定条件，在给定直线上取点，再求出该点到y轴距离即可作答.

【详解】因圆心在直线上，则在直线取点作圆心，又该圆与轴相切，则圆半径为2，

所以满足条件的圆的标准方程为：.

故答案为：

14. 已知，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于，，所以，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

15. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.

【详解】小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，

能集齐3种玩偶的事件A含有的基本事件数为：，

所以能集齐3种玩偶的概率是.

故答案为：

16. 已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．

【答案】或.

【解析】

【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点即可.

【详解】设切点为对求导得：

，

切线方程为：，

切线过，

解之：或1，所以斜率或，

又过，

代入点斜式得切线方程为：或，

故答案为：或.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，的面积是，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，从而求得的值.

（2）先求得，利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理求得.

【小问1详解】

依题意，，

由正弦定理得，

，

所以

，由于，所以，

所以，则．

【小问2详解】

由（1）得，所以，

由解得，

由于，所以，

由余弦定理得.

18. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．

（1）证明：平面．

（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角的余弦值．

【小问1详解】

等腰梯形中，，，，

则

则，∴

又由，可知

又，面，面

故面

【小问2详解】

过点C作平面，以C为原点，分别以

所在直线为轴建立空间直角坐标系

则，，，，

则，

设面法向量为

则，则，

令，则，，则

又面一个法向量为

故二面角的余弦值为

19. 现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人．某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据：

	喜欢	其他	合计
男	10	20	30
女	40	30	70
合计	50	50	100

（1）根据表中调查数据，并依据的独立性检验，能否认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关？

（2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为，求的分布列与期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

【答案】（1）依据的独立性检验，可以认为因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）计算的值，从而作出判断.

（2）先求得抽取的人中，男性、女性的人数，然后按照超几何分布的分布列的计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

【小问1详解】

，

所以，依据的独立性检验，可以认为因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.

【小问2详解】

男性与女性人数的比例为，

所以抽取的人中，男性有人，女性有人.

可取0，1，2，3，

,

,

,

,

	0	1	2	3

20. 数列满足，．

（1）证明：数列为等差数列．

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

【分析】（1）根据已知证明等于一个定值即可；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【小问1详解】

证明：因为，

所以，又，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列；

【小问2详解】

解：由（1）得，

，

则

.

21. 已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）若，讨论函数的零点个数．

【答案】（1），

（2）答案详见解析

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，利用整体代入求得的单调递增区间.

（2）先求得在区间上的值域，利用换元法，结合对分类讨论来求得零点的个数.

小问1详解】

，

由，，

解得，，

故递增区间为，.

【小问2详解】

，则，则，

所以，

画出在区间上的图象如下图所示，

令，则，，

由，结合图象得：

①当时，，，即，此时零点唯一；

②当时，或或，此时三个零点；

③当时，或或，此时两个零点；

④当时，或或（无解），此时只有一个零点；

⑤当时，或或，此时两个零点；

⑥当，时，或或，此时有两个零点；

⑦当时，或或（无解），此时有一个零点；

综上所述：当时，只有一个零点；

时，只有两个零点；，有三个零点.

22. 已知函数，是的导函数．

（1）若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）求导，关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，利用导数求出其单调区间，从而可得出答案；

（2）当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，利用导数求出函数的最小值即可得解.

【小问1详解】

解：，

关于的方程有两个不同的正实根，

即方程有两个不同的正实根，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，上递增，

所以，

又当时，，当时，，

所以，即，

所以；

【小问2详解】

解：当时，恒成立，

即恒成立，

即恒成立，

令，

则

,

当时，，所以函数在上递增，

当时，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以当时，，即，

所以函数在上递增，

所以，

所以，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根及函数不等式恒成立问题，解决两个问题的关键都是分离参数，计算量较大，有一定的难度.