2020-2021年北京市朝阳区高二数学下学期期末试题及答案

一、单选题（共10题；共50分）

1.设 ，则“ ”是“ ”的（    ）

A. 充分不必要条件        B. 必要不充分条件         C. 充要条件         D. 既不充分也不必要条件

【答案】 B

【解答】 Ý ，因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.

故答案为：B.

2. 展开式中 的系数为（    ）

A. -20                                        B. -10                                        C. 10                                        D. 20

【答案】 C

【解答】 ，

令 ，解得 .

所以 的系数为 .

故答案为：C

3.函数 在区间 上的最大值为（    ）

A.                                         B. 1                                        C. 7                                        D. 

【答案】 D

【解答】依题意： ，而 ，

于是得 或 时， ， 时， ，

时 取得极大值 ， 时 取得极小值 ，

而 ， ，

所以 最大值为 .

故答案为：D

4.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用 表示取到红球的个数，则 （    ）

A.                                          B.                                          C.                                          D. 

【答案】 B

【解答】袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为 ，

所以， ，因此， .

故答案为：B.

5.设随机变量 服从正态分布 ，若 ， ，则 （    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

【答案】 C

【解答】 ，

所以 ，即 .

所以 .

故答案为：C

6.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（    ）

A. 50                                        B. 70                                        C. 80                                        D. 140

【答案】 C

【解答】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，

又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，

所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，

所以不同选法种数为

故答案为：C

7.小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为 ；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 .若他第1球投进概率为 ，他第2球投进的概率为（    ）

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

【答案】 A

【解答】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进，第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥，

， ，则 ，

所以第2球投进的概率为 .

故答案为：A

8.为了研究某校男生的脚长 (单位； )和身高 (单位： )的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系.设 关于 的经验回归方程为 .已知 ， ， ，该校某男生的脚长为 ，据此估计其身高为（    ）

A.                               B.                               C.                               D. 

【答案】 C

【解答】由题知： ， ，

又因为回归直线为 ，所以 ，解得 .

即回归直线为 .

所该男身高为 .

故答案为：C

9.已知 .以下四个命题：

①对任意实数 ，存在 ，使得 ；

②对任意 ，存在实数 ，使得 ；

③对任意实数 ， ，均有 成立；

④对任意实数 ， ，均有 成立.

其中所有正确的命题是（    ）

A. ①②                                     B. ②③                                     C. ①③                                     D. ②④

【答案】 A

【解答】令 ，

记 ，

因为 为开口向上的二次函数，所以对任意 ，总存在 使得 ，故②正确④错误；

因为当 时， ，所以方程 无解，

所以 恒成立，故①正确；

因为当 时， ，所以方程 有一根或两根，

所以对任意 ， 不恒成立，故③错误；

故答案为：A.

10.一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（    ）

A. 70                                       B. 140                                       C. 210                                       D. 280

【答案】 B

【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，

并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，

从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，

从圆周上8个点中任取4点可以构成 个圆内接四边形，

所以圆上的“自由弦对”总组数为 .

故答案为：B.

二、填空题（共6题；共30分）

11.判断对错，并在相应横线处划“√”或“×”.①样本相关系数 时，称成对数据正相关， 时，称成对数据负相关________.②样本相关系数的绝对值 越接近于1，线性相关程度越弱， 越接近于0，线性相关程度越强________.

【答案】 √；×

【解答】由成对数据正负相关与相关系数的对应关系知，①正确，在横线处划“√”；

因样本相关系数的绝对值 越接近于1，线性相关程度越强， 越接近于0，线性相关程度越弱，则②不正确，在横线处划“×”.

故答案为：√；×

12.某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》､《觉醒年代》､《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：

观看情况	观看人数
只看过《光荣与梦想》	12
只看过《觉醒年代》	11
只看过《跨过鸭绿江》	8
只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》	7
只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》	4
只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》	5
同时看过《光荣与梦想》､《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》	21

则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有________人，三部电视剧中，看过至少一部的有________人.

【答案】 38；68

【解答】解：根据题意，将数据利用韦恩图表示，如图所示：

由图可知看过《跨过鸭绿江》的共有 人；三部电视剧中，看过至少一部的有 人.

故答案为：38；68.

13.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第 行的各数就是 的展开式的二项式系数.

则第10行共有________个奇数；第100行共有________个奇数.

【答案】 4；4

第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个；

第6行，4个；第7行，8个；

第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个；

第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；

第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个；

第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；

……

第88行，2个；第89行，4个；第90行，4个； 第91行，8个； 第92行，4个；

第93行，8个；第94行，8个；第95行，16个；

第96行，2个；第97行，4个；第98行，4个； 第99行，8个； 第100行，4个；

第101行，8个；第102行，8个；第103行，16个；

故答案为：4；4

14.函数 的定义域为________，极大值点的集合为________.

【答案】；

【解答】依题意得 ，即 ，解得 ，

所以函数 的定义域为 ；

，

由 ，即 得 ，

时， ， 时， ，于是得 是 极小值点，

时 ， 时 ，

时， ， 时， ，于是得 是 极大值点，

所以极大值点的集合为 .

故答案为： ；

15.已知 ，则 的最小值为________.

【答案】

【解答】因为 ，则 ，

当且仅当 时，即 时取等号，

所以 的最小值为 .

故答案为：

16.为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：

性别	人数	睡眠质量好	睡眠质量一般	睡眠质量差
男	220	99	90	31
女	250	50	120	80
合计	470	149	210	111

假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是________.

【答案】 0.47

解：从该中学男生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 ，

从该中学女生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 ，

因此，该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是 .

故答案为：0.47.

三、解答题（共5题；共70分）

17.已知集合 ， .

（1）若 ，全集 ，求 ；

（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数 的取值范围.

条件①：若 ；条件②：若 .如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】

（1）因为 ，所以 ，所以 ，

又 ，所以 ，

所以 ；

（2）若选①：因为 ，所以 ，

又因为 恒成立，所以 ，

所以 ，所以 ，

即 的取值范围是 ；

若选②：因为 恒成立，所以 ，

又因为 ， 或 ，

所以 或 ，

即 的取值范围是 或 .

18.设函数 ， ，

（1）求 的单调递增区间；

（2）当 ， 时，求证： .

【答案】

（1） ，

①当 时， 在 恒成立，

在 单调递增；

②当 时， ， ，

在 单调递增，

综上，当 时， 的单调递增区间是 ，

当 时， 的单调递增区间是 ；

（2）因为 ，要证 ，只需证 ，

设 ，

，令 恒成立，

所以 在 上单调递增，所以 ，

即 上恒成立，

所以 单调递增， ，

即 ，得证.

19.根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的 .我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况.

（1）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率；

（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.

（3）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？

影片		女性观众		男性观众		总计
《八佰》						100
《金刚川》						100
总计		86		114		200
	0.1		0.05		0.01		0.001
	2.706		3.841		6.635		10.828

附：

【答案】

（1）由图1知，“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率为，

由此估计事件C的概率为；

（2）由图2知，参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性有61人，

从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件B，

相当于从含60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件，

其概率为，

（3）观察图2得列联表如下：

影片	女性观众	男性观众	总计
《八佰》	47	53	100
《金刚川》	39	61	100
总计	86	114	200

则的观测值为，

由独立性检验知，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.

20.某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品.

（1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；

（2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为 ，求 的分布列和数学期望；

（3）某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？

【答案】

（1）记A=“第二次取出的是不合格产品”，则；
（2）由题意：可以取0,1,2.

，，，

则分布列为：

X	0	1	2
P

所以 .

（3）若选择方案一：需要付出的损失费用为：元；

若选择方案二：需要付出的损失费用为：元.

所以选择方案二损失较小.

21.已知函数 .

（1）求 的极值；

（2）已知 ，且 对任意的 恒成立，求 的最大值；

（3）设 的零点为 ，当 ， ，且 时，证明： .

【答案】

（1）函数 定义域为 ， ，

时 时 ， 时， 取得极小值 ，无极大值，

所以 的极小值为-1，无极大值；

（2） ，令 ，

，

由(1)知 在 上单调递增，而 ，

，即 ，当 时， ，当 时， ，

于是得 在 上递减，在 上递增，

则 时， ，

从而有 ，而 ，则 ，

所以 的最大值是3；

（3）由(1)知 在 上递增， ， ，

即 大于1的零点 ，

令 ， ，

显然 在 上单调递减， ，

于是得 ， 在 上单调递减， ，且 时， ，

即 ，

所以 ，且 时， ..