2018-2019年重庆数学高三水平会考真题及答案解析
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
| 一、选择题 |
1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4
，则C的实轴长为( )
A． | B．2 | C．4 | D．8 |
【答案】C
【解析】设C：
－
＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立
－
＝1和x＝－4得A(－4，
)，B(－4，－
)，
∴|AB|＝2
＝4
，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
，则其前6项之和是( )
A．16 | B．20 | C．33 | D．120 |
【答案】C
【解析】a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，选C.
3.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝
x，则tanα＝( )
A． | B． | C．－ | D．－ |
【答案】D
【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝
x<0，即x<0.又cosα＝
x＝
，解得x＝－3，∴tanα＝
＝－
.
4.已知
，则
的最小值和最大值分别为（ ）
A． | B．-2， | C． | D．-2, |
【答案】A
【解析】
试题分析：
，
因为
，所以
，
，当
时，
.故A正确.
考点：1诱导公式、二倍角公式；2二次函数求最值.
5.（5分）（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A．（1）和（20） | B．（9）和（10） | C．（9）和（11） | D．（10）和（11） |
【答案】D
【解析】
试题分析：根据已知中某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，我们设树苗集中放置的树坑编号为x，并列出此时各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，根据绝对值的性质，结合二次函数的性质即可得到使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小时，树苗放置的最佳坑位的编号．
解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x
则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
S=|1﹣x|×10+|2﹣x|×10+…+|20﹣x|×10
若S取最小值，则函数y=（1﹣x）2+（2﹣x）2+…+（20﹣x）2=20x2﹣420x+（12+22+…+202）也取最小值
由二次函数的性质，可得函数y=20x2﹣420x+（12+22+…+202）的对称轴为y=10.5
又∵为正整数，故x=10或11
故选D
点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数最值问题，转化为一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．
6.运行如下程序框图，如果输入的t∈[-1,3]，则输出s属于 ( )
A．[-3,4] |
B．[-5,2] |
C．[-4,3] |
D．[-2,5] |
【答案】A
【解析】
由题意知，当t∈
时，S=3t∈
，当t∈[1,3]时，S=4t-t2∈[3,4]，
∴输出s属于[-3,4]，故选
.
7.如果
，那么a、b间的关系是()
A． | B． | C． | D． |
【答案】B
【解析】
试题分析：首先有
，其次由
得
，则
，所以
，故选B.
考点：对数函数的性质.
8.已知回归直线的斜率的估计值是
，样本点的中心为
，则回归直线方程是（ ）
A． | B． | C． | D． |
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可知：
，且直线过
，所以直线方程为
考点：1.回归直线的方程.
9.设
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
、
两点，且满足
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
【答案】A
【解析】
试题分析：如下图所示，
，又
，
,
，
.故选A
考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的几何性质；3、勾股定理.
10.设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A． | B． | C． | D． |
【答案】D
【解析】
试题分析：因为
，
，
，
所以，
=
.选D.
考点：集合的运算
| 二、填空题 |
11.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.
【答案】log2x
【解析】f(x)＝logax，∵f(2)＝1，
∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
12.已知点
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据线性规划的知识画出不等式
的可行域如图所示,则目标函数
在交点
处取得最小值为
,故填
.
考点：线性规划
13.若函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
内的零点的个数为____.
【答案】9
【解析】
试题分析：因为
，所以函数
是周期为2函数．因为
时，
，所以作出它的图象，利用函数
是周期为2函数，可作出
在区间
上的图象，如图所示：
故函数
在区间
内的零点的个数为9，故答案为9．
考点：函数的零点；函数的周期性．
14.若函数
在
的最大值为4，最小值为
，则实数
的值是 ．
【答案】
或
.
【解析】
试题分析：若
，则
在
上为增函数，所以有
，得
；若
，则
在
上为减函数，所以有
，得
，综上，实数
的值是
或
.
考点：指数函数的单调性.
15.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心
出发，先沿北偏西
方向行走13米至点
处，再沿正南方向行走14米至点
处，最后沿正东方向行走至点
处，点
、
都在圆
上．则在以圆心
为坐标原点，正东方向为
轴正方向，正北方向为
轴正方向的直角坐标系中圆
的方程为 .
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示：设OA与正北方向的夹角为θ，
则由题意可得sinθ=
，OA=13，
∴cos∠AOD=sinθ=
，OD=OA•cos∠AOD=13×
=12，AD=OA•sin∠AOD=13×
=5，
∴BD=14-AD=9，∴OB2=OD2+BD2=144+81=225，
故圆O的方程为 x2+y2=225，即为所求。
考点：圆的方程
点评：中档题，利用数形结合思想，在坐标系中根据三角函数的定义，确定“边角关系”。
| 三、解答题 |
16.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5
，b＝5，求sin Bsin C的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝
或cos A＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A＝
，
(2)由S＝
bcsin A＝
bc·
＝
bc＝5
，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝
.
又由正弦定理得sin Bsin C＝
sin A·
sin A＝
sin2A＝
×
＝
.
17.如图，已知抛物线
焦点为
，直线
经过点
且与抛物线
相交于
，
两点
（Ⅰ）若线段
的中点在直线
上，求直线
的方程；
（Ⅱ）若线段
，求直线
的方程
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据已知条件设出未知的点的坐标和斜率，根据两点间的斜率公式和中点坐标公式找等价关系，求出直线
的斜率，由已知得的
根据斜截式求出直线方程； (Ⅱ)设出直线
的方程为
，这样避免讨论斜率的存在问题，与抛物线的方程联立方程组，得到根与系数的关系，根据直线与抛物线相交的交点弦的长来求参数的值
试题解析：解：(Ⅰ)由已知得交点坐标为
， 2分
设直线
的斜率为
，
，
,
中点
则
，
，
所以
，又
，所以
4分
故直线
的方程是：
6分
(Ⅱ)设直线
的方程为
， 7分
与抛物线方程联立得
，
消元得
， 9分
所以有
，
，
11分
所以有
，解得
， 13分
所以直线
的方程是：
，即
15分
考点：1、直线的方程；2、直线与圆锥曲线的关系
18.设椭圆
的右焦点为
，直线
与
轴交于点
，若
（其中
为坐标原点）．
（I）求椭圆
的方程；
（II）设
是椭圆
上的任意一点，
为圆
的任意一条直径（
、
为直径的两个端点），求
的最大值．
【答案】（I）椭圆
的方程为
；
（II）当
时，
，故
【解析】
试题分析：（I）由题设知，
，
， 由
，
得
．解得
．所以椭圆
的方程为
（II）方法1：设点
，因为
的中点坐标为
，
所以
所以
．
因为点
在圆
上，所以
，即
．
因为点
在椭圆
上，所以
，即
．
故
．
因为
，所以当
时，
法2：由题知圆N: 
的圆心为N；则
从而求
的最大值转化为求
的最大值；
因为点
在椭圆
上，设点
所以
，即
．
又因为
,所以
；
因为
，所以当
时，
，故
方法3：①若直线
的斜率存在，设
的方程为
，
由
，解得
．因为
是椭圆
上的任一点，设点
，
所以
，即
．所以
故
．
因为
，所以当
时，
，故
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为
； 由
，解得
或
.
不妨设E(0，3),F(0，1)； 因为点
在椭圆
上，设点
所以
，即
所以
，故
因为
，所以当
时，
，故
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意讨论直线的斜率存在、不存在两种情况，易于忽视。熟练进行平面向量的坐标运算，是正确解题的关键。
19.（理科）（本小题满分12分）如图分别是正三棱台ABC－A1B1C1的直观图和正视图，O，O1分别是上下底面的中心，E是BC中点．
（1）求正三棱台ABC－A1B1C1的体积；
（2）求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦；
（3）若P是棱A1C1上一点，求CP＋PB1的最小值．
【答案】（1）
；
（2）
；（3）最小值为
。
【解析】
试题分析：（1）由题意
,正三棱台高为
..2分
..4分
（2）设
分别是上下底面的中心，
是
中点，
是
中点.以
为原点，过
平行
的线为
轴建立空间直角坐标系
. 
，
， 
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量
，则
即
取
，取平面
的一个法向
量
，设所求角为
则
..8分
（3）将梯形
绕
旋转到
,使其与
成平角
，由余弦定理得
即
的最小值为
..13分
考点：本题主要考查立体几何中的体积计算、角的计算。
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。利用向量则简化了证明过程，对计算能力要求高。