2020-2021年北京市朝阳区高二数学上学期期末试题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 圆
的圆心C的坐标为（ ）
A. （1，0） B. （－1，0） C. （2，0） D. （－2，0）
【答案】B
2. 已知直线l的方向向量为
，平面α的法向量为
，若
，
，则直线l与平面α（ ）
A. 垂直 B. 平行
C. 相交但不垂直 D. 位置关系无法确定
【答案】A
3. 双曲线
的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
4. 如图，已知直线l与圆
相交于A，B两点，若平面向量
，
满足
，则
和
的夹角为（ ）
A. 45° B. 90° C. 120° D. 150°
【答案】C
5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ）
A. 2倍 B. 4倍 C. 8倍 D. 16倍
【答案】C
6. 过抛物线
上的一点
作其准线的垂线，垂足为
，抛物线的焦点为
，直线
在
轴下方交抛物线于点
，则
（ ）
A. 1 B. 
C. 3 D. 4
【答案】D
7. 下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数
在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移
（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式
则
时的瞬时速度是10 m/s；
④设x＞0，
，
，则在（0，＋∞）上函数
的图象比
的图象要“陡峭”.
其中正确的序号是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④
【答案】A
8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】D
9. 已知椭圆
：
，椭圆的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆
上的任意一点，且满足
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
10. 如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c. M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则
（ ）
A. 
B. 
C. 1 D. 2
【答案】C
二、填空题：本大题共6小题每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
11. 只知两条直线
，
平行，则m的值为______.
【答案】4
解：两条直线
，
平行，则
，得
，
12. 等差数列
满足
，
，则
_________.
【答案】
解：等差数列
满足
，
，设公差为
，则
，
则
，
13. 已知函数
（a∈R），且
，则a的值为_________.
【答案】1
解：对函数求导得
，
则
，得
.
14. 如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1.则A1C与平面C1BD_______（填“垂直”或“不垂直”）；A1C的长为_______.
【答案】 ①. 垂直 ②. 
解：设
，
，
，由题意可得
，
则
，
，同理可证
，
，故
平面
．
∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC1＝1，
,
,
即A1C的长为
.
故答案
：垂直；
15. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心
为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为
，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：①
；②
；③
；④
.则以上命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
解：由题意知：三个椭圆轨道的近地点相同且都以地心
为焦点，
∴
，故①正确，
，即
，则
且
，故②错误，③正确，
∵若地球半径为
，则
，
∴
，
，
，故
，
由上知：
，所以
，故④正确.
故答案为：①③④
16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】 ①. 
②. 2465
解：第1组有1个数，
第2组有3个数，
第3组有5个数，
……
第n组有
个数.
前8组的数字个数分别为1,3……15，共64项，第9组中的数字个数有2×9-1=17个，
设把正奇数列的前n项和为
，则第9组中的所有数之和：
.
故答案为：
；2465.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证朋过程.
17. 已知函数
（1）求曲线
在点（e，
）的切线方程；
（2）求函数
的单调区间.
【答案】（1）
； （2）在
单调递减，在
单调递增．
解：（1）由
得
，
所以切线斜率为
切点坐标为
，
所以切线方程为
，即
；
（2）
，
令
，得
．
当
时，
；
当
时，
，
∴
在
单调递减，在
单调递增．
18. 已知圆
，若直线
与圆C相交于A，B两点，且
.
（I）求圆C的方程.
（II）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l2的方程.
①（2，－3）；②（1，
）.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（I）
；（II）选①：
或
；选②：
.
解：（I）设圆心到直线
的距离为
，则
，即
，
又
，
，
故圆C的方程为
；
（II）选①：当直线
斜率不存在时，
的方程为
，恰好与圆相切，满足题意；
当直线
斜率存在时，设
的方程为
，即
，
则圆心到直线
的距离为
，解得
，
此时直线
的方程为
，即
，
综上，直线
的方程为
或
；
选②，可得
在圆上，即
为切点，
则切点与圆心连线斜率为
，则切线斜率为
，
所以直线
的方程为
，即
.
19. 已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}的通项bn满足
，求{bn}的前n项和Sn的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】（I）
；（II）当
时，
取得最小值为
解：（I）设等比数列
的公比为
，且
，
则
，解得
，
（II）
，
，
，
则当
时，
取得最小值为
.
20. 在如图所示的多面体中，
且
，
，
且
，
且
，
平面ABCD，
，M，N分别为棱
的中点.
（I）求点F到直线EC的距离；
（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.
【答案】（I）
；（II）
；（III）不存在，证明见解析；
解：（I）由
平面ABCD知，
，
，又
，
则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
所以点F到直线EC的距离为
（II）由（I）知，
，
，
设平面BED的法向量为
，
则
，令
，则
设平面EDC的法向量为
，
则
，令
，则
故
由图知，二面角
为锐二面角，故余弦值为
（III）设GF上存在一点Q，设
，
则
，
设平面MNQ的法向量为
则
，令
，则
若平面
平面
，则
，
故
不存在，即不存在点Q使得平面
平面
21. 在平面直角坐标系
中，点
，
的坐标分别为
，
，
是动点，且直线
与
的斜率之积等于
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）设
是曲线
的左焦点，过点
的直线
与曲线
相交于
，
两点，过
，
分别作直线
的垂线与
轴相交于
，
两点.若
，求此时直线
的斜率.
【答案】（1）
；（2）
.
解：（1）设
，则
，
所以可得动点P的轨迹C的方程为
（2）可得
，设直线l的方程为
，
联立
可得
所以
因为过A，B分别作直线l的垂线与x轴相交于M，N两点
所以
所以直线
的方程为
，令
可得
，同理可得
所以
所以
解得
，所以